大阳城娱乐手机客户端我们有必要研究幂等变换的性质. 维线性空间V上的线性变换

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文章关键词:太阳集团www.1385.com,直和分解

  要:线性空间直和分解问题在数学的许多领域有着广泛的应用。本文给出了线性空间 分解为它的线性变换的核Ker Im的直和的一个充分条件 为为幂等变换,并且给出了线性空间在线性变换多项式下的直和分解定理以及 线性变换的 Jordan 标准型与线性空间的直和分解的关系。此外,也探究了直和 运算的相关性质及无穷维线性空间的直和分解问题。 关键词:线性变换;幂等变换;Jordan 标准型;直和分解;直和运算 straightsum decomposition linearspace relatedproperties Zhang Haicheng School computerscience Abstract:The theorem which straighesum decomposition linearspace has been widely applied manyfileds paper,wehave established sufficientcondition linearspace directsum Lineartransformation kernel Ker imageIm idempotenttransformation.Besides,A theorem which straightsum decomposition linearspace under lineartransformation polynomial relateresult addition,wohave also explored some related properties directsum,and straightsum decomposition infinitedimensional linear space. Key words:linear transformation;idempotent transformation;Jordan standard; straighe sum decomposition; straighe sum operation 线性空间写成其子空间直和的若干方法: 分解为Ker与Im 的直和的条件 上线性空间V上的一个线性变换,在V 是有限维向量空间的情 形,我们有:的核Ker 与的象Im 的维数之和等于V dimKer+dim Im=dim 这就提出这样一个问题:V能否分解为的核Ker 与象Im 虽然子空间Ker Im的维数之和等于 dim V,但是 Ker Im并不一 定是整个空间V。 例如,在线性空间 中,求导数D的象Im 成立.那么,满足什么条件,V 能分解为Ker 与Im 1.1V分解为Ker 与Im 的直和的条件 我们先证明一个引理. 引理 1.1.1 (为幂等变换),则Ker 对任意的W,存在 V,使得 ,可得:Ker 综上所证,可得Ker=W,引理得证. 由引理可得如下定理: 定理1 上线性空间V的一个线性变换,并且满足 则有V=Ker Im 证明由引理 Ker Ker+Im ,所以VKer +Im( V,于是V=Ker +Im( 此外,对任意的Ker ,故存在V,使得 即:对任意的Ker 由此Ker },因此V=KerIm 1.2上述定理,条件 不是必要的.我们看下面的例子 表示数域F上四元列空间,大阳城娱乐手机客户端取矩阵 是一个线性变换,且的核Ker是以A 为系数矩阵的四元齐次线性方程 组的解空间. 求解齐次线性方程组 AX= =dimKer+dim Im,因此 (14-1 27 -16),( 不是必要的.定理 Im成立,即给 带来了直和分解.为幂等变换是 分解为Ker与 Im 的直和的充分而不必 要条件.然而,如果已知线性空间 的一个直和分解,则由该直和分解同样也可带来幂等变换. 定理2 上的线性变换是唯一的. 证明 由于V=UW,因此表示成U 的一个向量与W 的一个向量之和的方式唯一, 从而 的一个映射。任取V中两个向量= 上的一个线性变换.如果 的两个子空间,且V=UW,则投影变换 均是V上的幂等变换,而且 是正交的.证明 以上定理说明线性空间V上的幂等变换与线性空间的直和分解有着密切的关系, 我们有必要研究幂等变换的性质. 维线性空间V上的线性变换,是幂等变换的充要条件 是rank()+rank(- 线性空间在线性变换多项式下的直和分解首先给出线性空间在一类线性变换多项式下的直和分解定理: 引理2.1 另一方面因为( 维线性空间V上的线性变换, 以上三个直和分解定理均是Hamilton-Cayley 定理的重要应用.线性空间直和分 解问题在数学、力学、物理学及许多领域有着广泛的应用.现在给出直和分解定 理应用的例子. 决定的线性变换:=A,任意 它在实数域R上只有特征值 的一组基.显然V= 线性变换的Jordan标准型与线性空间的直和分解 定理6 复数域上有限维线性空间的每一个线性变换都有Jordan 标准型,并且这 个Jordan 标准型矩阵除去其中若尔当的排列次序外是被线性变换唯一决定的. Jordan 标准型的求法: 1)首先用初等变换化特征矩阵 E-A 为对角形式,然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积,则所有这些一次因式的方幂(相同的按 出现的次数计算)就是A 的全部初等因子. 就是A的Jordan 标准型. 求复数域上下述矩阵的Jordan标准型 首先求E-A 的初等因子:E-A 因此,A的初等因子是 的Jordan标准型为 上线性变换的一个Jordan 的一个基,它使得在这个基下的矩阵为Jordan 形矩阵. 当我们已经求出的 Jordan 标准型 以后,为了求出的一个Jordan 要把原来的基到Jordan 基的过渡矩阵 阵方程AX=XP(*) 的解并且应为可逆矩阵. 如果dimV=n,则(*)是 个方程组成的线性方程组,解这个线性方程组,可求出 ),选取可逆矩阵(因为的Jordan 标准型存在,所以满足方程(*)的可逆矩阵一定存在),便可作为过渡矩阵P. ),由的Jordan标准型以及方程(*)得: (2,0,1).同理, 是的属于3的一个特征向量,解方程组 (3E-A)Y= -0.5-1 -2-14 -6 .容易看出X是可逆矩阵,它就可作为V 的原来的基 的过渡矩阵.所以: 维线性空间V上的线性变换,则V 能分解成的一些 非平凡不变子空间的直和当且仅当V 中存在一个基,使得在此基下的矩阵为分 块对角矩阵: 证明必要性. 设V是的一些非平凡不变子空间的直和: 的一个基.由于W 时,合起来是V一个基,因此 维线性空间V上的线性变换, 的一个Jordan 设是复数域上线性空间V上的线性变换, ,求线性空间V的一个直和分解. 的Jordan标准型为 都是数域F上有限维线性空间V 上的子空间, dimV=dimV+dimVdimV 向量表示命题2.1 都是数域F上(有限维)线性空间V 上的子空间, 且零向量的表示法唯一.命题 2.2 上的子空间,若子空间的和 不是直和,则V的每个向量的表示法都不唯一. 证明 设矛盾.因此,W 中每个向量的表示法都不唯一. 中只要有一个向量表示法唯一,大阳城娱乐手机客户端就能保证其中所有向量都表示法唯一,从而必为直和. 命题3.1 命题3.2 都是数域F上(有限维)线性空间V 上的子空间,子 空间的和 是直和,则由命题3.1知,(4)式成立. 反之,设(4)成立,但 不是直和,则表示法不唯一,即存在不 全为零的向量 运算律命题4.1 直和可以“代入” 1112 2122 1112 21 22 显然11 12 21 22 1112 21 22 1112 21 22 .于是由(5)得11 12 21 22 但是11 12 11 12 21 22 21 22 1112 21 22 因此11 12 21 22 命题4.2直和可以“加括号” 1112 1314 1112 13 14 1112 13 14 由命题4.2知直和运算结合律成立,即 无限维线:设B 上线性空间V的一个非空子集,若B 中任意有限个向量线 性无关,且V 中每个向量都可由B 中有限个向量线性表示,则称B 中有限个向量线性表示,故可由 中有限个向量线性表示.从而 参考文献[1]北京大学数学系.高等代数[M].第三版.北京:高等教育出版社,2003 [2]国防科技大学大学数学竞赛指导组.大学数学竞赛指导[M].北京:清华大学出 版社,2009 [3]查建国等.线性代数[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2005 [4]杨子胥.高等代数精选题解[C].北京:高等教育出版社,2008 [5]丘维声.高等代数[M].第二版(下册).北京:高等教育出版社,2003 [6]梁聪刚,大阳城娱乐手机客户端赵伟杰.线性空间在一类线性变换多项式下的直和分解[J].平顶山学 院学报,2009(2):61-62

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